Differentiëren — alle regels op één pagina · afgeleideoefenen.nl

H2 – De afgeleide functie

f (x) = a x^{n} ⟹ f^{'} (x) = n \cdot a x^{n - 1}

Voorbeeld

$f (x) = 3 x^{4} ⟹ f^{'} (x) = 12 x^{3}$
1. 1. $n = 4$ , $a = 3$
2. 2. $f^{'} (x) = 4 \cdot 3 \cdot x^{4 - 1} = 12 x^{3}$
$f (x) = 7 ⟹ f^{'} (x) = 0$
1. 1.Constante: $n = 0$
2. 2. $f^{'} (x) = 0$

f (x) = g (x) + h (x) ⟹ f^{'} (x) = g^{'} (x) + h^{'} (x)

Voorbeeld

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} ⟹ f^{'} (x) = 3 x^{2} + 10 x$
1. 1.Differentieer elke term apart: $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ en $(5 x^{2})^{'} = 10 x$
2. 2.Tel op: $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 10 x$

f (x) = g (x) \cdot h (x) ⟹ f^{'} (x) = g^{'} (x) h (x) + g (x) h^{'} (x)

Voorbeeld

$f (x) = (x^{2} - 4) (x^{3} + 2 x) ⟹ f^{'} (x) = 2 x (x^{3} + 2 x) + (x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2)$
1. 1. $g = x^{2} - 4, g^{'} = 2 x$
2. 2. $h = x^{3} + 2 x, h^{'} = 3 x^{2} + 2$
3. 3. $f^{'} (x) = 2 x (x^{3} + 2 x) + (x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2)$

f (x) = \frac{g ( x )}{h ( x )} ⟹ f^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ^{'} ( x )}{( h ( x ) ) ^{2}}

Voorbeeld

$f (x) = \frac{x - 2}{x + 5} ⟹ f^{'} (x) = \frac{7}{( x + 5 ) ^{2}}$
1. 1. $t = x - 2, t^{'} = 1$
2. 2. $n = x + 5, n^{'} = 1$
3. 3. $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 5 ) - ( x - 2 ) \cdot 1}{( x + 5 ) ^{2}} = \frac{7}{( x + 5 ) ^{2}}$

f (x) = \frac{1}{x ^{n}} = x^{- n} ⟹ f^{'} (x) = - n x^{- n - 1}

Voorbeeld

$f (x) = x = x^{1/2} ⟹ f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- 1/2}$
1. 1.Herschrijf: $f (x) = x^{1/2}$
2. 2. $n = \frac{1}{2}$ : $f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{- 1/2}$
$f (x) = n x = x^{1/ n} ⟹ f^{'} (x) = \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n} - 1}$

f (g (x))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Voorbeeld

f (x) = sin (x) ⟹ f^{'} (x) = cos (x) f (x) = cos (x) ⟹ f^{'} (x) = - sin (x) f (x) = tan (x) ⟹ f^{'} (x) = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Voorbeeld

$f (x) = 3 sin (x) - 2 cos (x) ⟹ f^{'} (x) = 3 cos (x) + 2 sin (x)$
1. 1. $(3 sin (x))^{'} = 3 cos (x)$
2. 2. $(- 2 cos (x))^{'} = - 2 \cdot - sin (x) = 2 sin (x)$
3. 3. $f^{'} (x) = 3 cos (x) + 2 sin (x)$

f (x) = cos (u (x)) ⟹ f^{'} (x) = - u^{'} (x) \cdot sin (u (x)) f (x) = sin (u (x)) ⟹ f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot cos (u (x))

Voorbeeld

$f (x) = sin (3 x^{2}) ⟹ f^{'} (x) = 6 x cos (3 x^{2})$
1. 1.Binnenste functie: $u (x) = 3 x^{2}$ , dus $u^{'} (x) = 6 x$
2. 2. $f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot cos (u (x)) = 6 x cos (3 x^{2})$

f (x) = e^{x} ⟹ f^{'} (x) = e^{x} f (x) = g^{x} ⟹ f^{'} (x) = g^{x} \cdot ln (g)

Voorbeeld

$f (x) = e^{g (x)} ⟹ f^{'} (x) = g^{'} (x) \cdot e^{g (x)}$
1. 1.Kettingregel: buitenste $e^{\dots}$ blijft staan
2. 2.Vermenigvuldig met de afgeleide van de exponent: $g^{'} (x)$
$f (x) = e^{2 x + 3} ⟹ f^{'} (x) = 2 e^{2 x + 3}$
1. 1. $g (x) = 2 x + 3, g^{'} (x) = 2$
2. 2. $f^{'} (x) = 2 \cdot e^{2 x + 3}$
$f (x) = 3^{x} ⟹ f^{'} (x) = 3^{x} \cdot ln (3)$

f (x) = ln (x) ⟹ f^{'} (x) = \frac{1}{x}

Voorbeeld

$f (x) = ln (g (x)) ⟹ f^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$
1. 1.Kettingregel: afgeleide van wat erin staat gedeeld door wat erin staat
2. 2. $f^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$
$f (x) =^{g} lo g (x) ⟹ f^{'} (x) = \frac{1}{x \cdot ln ( g )}$
$f (x) = ln (x^{2} + 1) ⟹ f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
1. 1. $g (x) = x^{2} + 1, g^{'} (x) = 2 x$
2. 2. $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
$f (x) =^{2} lo g (x) ⟹ f^{'} (x) = \frac{1}{x ln ( 2 )}$